# 讲义 26：概率分布（二项分布与正态分布）

> 配套 demo：[`viz/math/26-probability-distribution.html`](../../viz/math/26-probability-distribution.html)

## 适用学段
**高中（选择性必修第三册"随机变量及其分布"）**。

## 教学目标
- 知道：二项分布 B(n, p)、正态分布 N(μ, σ²) 的定义和概率密度
- 会：用公式计算具体概率；解读分布图
- 理解：二项分布是离散的，正态分布是连续的；n 大时二项分布逼近正态分布

## 核心概念

### 1. 随机变量
**随机变量**：取值随机的变量。
- **离散型**：取值可数（0, 1, 2, ...）
- **连续型**：取值连续（实数值）

### 2. 二项分布 B(n, p)
**n 次独立重复试验**中，事件 A 发生的次数 X 服从**二项分布**，记 X ~ B(n, p)。
- n：试验次数
- p：单次试验中 A 发生的概率

**概率公式**：
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, ..., n$$

其中 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 是组合数。

**期望与方差**：
- E(X) = **np**
- D(X) = **np(1 - p)**

**典型例子**：抛 10 次硬币，正面次数 X ~ B(10, 0.5)。

### 3. 正态分布 N(μ, σ²)
连续型随机变量 X 的概率密度函数为：
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

- μ：均值（中心位置）
- σ：标准差（散度宽度）

**正态分布的"3σ 原则"**：
- P(μ - σ < X < μ + σ) ≈ **68.27%**
- P(μ - 2σ < X < μ + 2σ) ≈ **95.45%**
- P(μ - 3σ < X < μ + 3σ) ≈ **99.73%**

**标准正态分布**：μ = 0, σ = 1，记为 N(0, 1)。

### 4. 二项分布与正态分布的关系
当 n 很大、p 接近 0.5 时，二项分布 B(n, p) 近似服从正态分布 N(np, np(1-p))。

**经验法则**：np > 5 且 n(1-p) > 5 时近似成立。

### 5. 其他常见分布（拓展）
- **超几何分布**：不放回抽样
- **泊松分布**：单位时间内某事件发生次数（如电话呼叫）
- **均匀分布**：连续，等可能

## 教学路径

### 1. 导入
"如果抛 100 次硬币，正面次数最可能是多少？分布长什么样？"

### 2. 探究（demo）
- 显示二项分布的柱状图（可调 n 和 p）
- 显示正态分布曲线（可调 μ 和 σ）
- 切换"二项→正态"看大 n 时的逼近

### 3. 抽象
- 离散 vs 连续
- 均值（中心）、方差（散度）

### 4. 巩固
- 计算具体概率
- 估算 1σ、2σ、3σ 范围内概率

## 例题

### 基础题
1. 抛 5 次硬币，求正面次数 = 3 的概率。
   - X ~ B(5, 0.5)
   - P(X = 3) = C(5,3) × 0.5³ × 0.5² = 10 × 0.03125 = **0.3125**

### 进阶题
2. **二项分布期望**：抛 10 次硬币，正面次数的期望是？
   - E(X) = np = 10 × 0.5 = **5**

3. **正态分布应用**：某次考试成绩 X ~ N(80, 100)（即 μ = 80, σ = 10）。
   - 70 到 90 分之间的人数比例 ≈ 68.27%
   - 60 到 100 分之间 ≈ 95.45%
   - 50 到 110 分之间 ≈ 99.73%

### 拓展（高考）
4. **质检员问题**：流水线生产的零件次品率 1%。从一批 100 件零件中随机抽取，求次品数 ≥ 3 的概率。
   - X ~ B(100, 0.01)，期望 1
   - P(X ≥ 3) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2)
   - 用二项公式逐个计算，或用泊松近似 (λ = 1)

5. **身高分布**：某地区成年男性身高 X ~ N(170, 25)（μ = 170 cm, σ = 5 cm）。
   - 175 cm 以上的人占比？
   - 175 = μ + σ，P(X > μ + σ) = (1 - 0.6827) / 2 ≈ **15.87%**

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 二项分布是连续的 | **离散**（取整数值）|
| 二项分布期望 = n | 是 **np**（n 倍单次概率）|
| 正态分布对称轴在 σ | 对称轴在 **μ**（均值）|
| 1σ 范围内 = 50% | 是 **68.27%** |

## 配套 demo 用法
- 切换"二项分布 / 正态分布"
- 二项：调 n 和 p，看柱状分布
- 正态：调 μ 和 σ，看钟形曲线
- 显示 1σ、2σ、3σ 范围内概率