# 讲义 25：数列（等差与等比）

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## 适用学段
**高中（选择性必修第二册"数列"）**。高考重要考点。

## 教学目标
- 知道：等差数列、等比数列的定义和通项公式
- 会：用通项公式求第 n 项、用求和公式求前 n 项和
- 理解：求和公式背后的"配对求和"思想（高斯）

## 核心概念

### 1. 数列基础
- **数列**：按一定顺序排列的一列数
- 记号：{aₙ}，a₁、a₂、a₃、...

### 2. 等差数列 (Arithmetic Progression, AP)
**相邻两项之差为常数 d**（公差）。
- 通项公式：**aₙ = a₁ + (n - 1)d**
- 前 n 项和：**Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = na₁ + n(n-1)d/2**

**记忆公式来源**（高斯 7 岁的故事）：
求 1 + 2 + 3 + ... + 100。
- 反过来写：100 + 99 + ... + 1
- 相加配对：每对都 = 101，共 100 对
- 总和 × 2 = 101 × 100 = 10100
- 总和 = **5050**

这就是为什么 Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 — **首项 + 末项乘以项数除以 2**。

### 3. 等比数列 (Geometric Progression, GP)
**相邻两项之比为常数 q**（公比，q ≠ 0）。
- 通项公式：**aₙ = a₁ · q^(n-1)**
- 前 n 项和：
  - 当 q ≠ 1：**Sₙ = a₁(1 - qⁿ) / (1 - q) = a₁(qⁿ - 1) / (q - 1)**
  - 当 q = 1：Sₙ = n · a₁

**等比求和公式推导**：
- Sₙ = a₁ + a₁q + a₁q² + ... + a₁q^(n-1)
- qSₙ = a₁q + a₁q² + ... + a₁qⁿ
- 相减：Sₙ - qSₙ = a₁ - a₁qⁿ
- Sₙ(1 - q) = a₁(1 - qⁿ)
- Sₙ = a₁(1 - qⁿ) / (1 - q)

### 4. 无穷等比数列求和（|q| < 1）
当 |q| < 1 且 n → ∞ 时：
$$S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$$

例：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1 / (1 - 1/2) = **2**（芝诺悖论的解决）

### 5. 数学归纳法（拓展）
证明对所有正整数 n，命题 P(n) 都成立：
1. **基础步**：证明 P(1) 成立
2. **归纳步**：假设 P(k) 成立，证明 P(k+1) 成立

### 6. 实际应用
| 场景 | 数列类型 |
|------|----------|
| 工资每月涨 1000 元 | 等差 |
| 复利存款 | 等比 |
| 人口翻倍 | 等比 |
| 物理阻尼振动 | 等比 |
| 折叠纸（每折翻倍）| 等比 |

## 教学路径

### 1. 导入
- 高斯 7 岁求和的故事 → 引出等差求和
- "如果存 1 万元年利息 5%，10 年后多少钱？" → 引出等比

### 2. 探究（demo）
- 显示等差数列：在数轴上显示 a₁, a₂, ..., aₙ 间距 d
- 显示等比数列：在条形图上显示几何倍增
- 求和动画：左右配对 → 求和公式

### 3. 抽象
- 通项公式 aₙ
- 求和公式 Sₙ

### 4. 巩固
- 实际计算

## 例题

### 基础题
1. 等差数列 a₁ = 3，d = 4，求 a₁₀ 和 S₁₀。
   - a₁₀ = 3 + 9 × 4 = **39**
   - S₁₀ = 10 × (3 + 39) / 2 = **210**

2. 等比数列 a₁ = 2，q = 3，求 a₅ 和 S₅。
   - a₅ = 2 × 3⁴ = **162**
   - S₅ = 2(3⁵ - 1)/(3-1) = 2 × 242 / 2 = **242**

### 进阶题
3. **复利**：本金 10000 元，年利率 5%，10 年后多少？
   - 等比数列，q = 1.05
   - 10 年后 = 10000 × 1.05¹⁰ ≈ 10000 × 1.629 = **16290 元**

4. **求和**：1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99 = ?
   - 这是等差数列：a₁ = 1, d = 2, aₙ = 99 → n = 50
   - S = 50 × (1 + 99) / 2 = **2500**

### 拓展（高考）
5. **错位相减**：求 Sₙ = 1 × 2 + 2 × 2² + 3 × 2³ + ... + n × 2ⁿ
   - 这是 (等差) × (等比)，用错位相减法
   - 2Sₙ = 1 × 2² + 2 × 2³ + ... + n × 2^(n+1)
   - 减：-Sₙ = 1·2 + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ - n·2^(n+1)
   - 简化后：Sₙ = (n - 1) × 2^(n+1) + 2

6. **无穷求和**：求 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...
   - |q| = 1/3 < 1，可求
   - S = 1 / (1 - 1/3) = **3/2**

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 等差通项是 a₁ + nd | 是 a₁ + **(n-1)**d |
| 等比求和公比 q = 1 也用公式 | q = 1 时退化为 Sₙ = nA₁ |
| 无穷求和不验证 \|q\| < 1 | 必须 \|q\| < 1 才能用 S∞ 公式 |
| 把求和公式简化得多余 | 牢记 Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2（等差）|

## 配套 demo 用法
- 切换等差 / 等比
- 调首项、公差/公比、项数
- 看数列条形图、求和动画