# 讲义 23：比、比例与比例尺

> 配套 demo：[`viz/math/23-ratio-proportion.html`](../../viz/math/23-ratio-proportion.html)

## 适用学段
小学六年级上 / 下；初中代数预备。

## 教学目标
- 知道：比、比值、比例、比例尺的定义和性质
- 会：化简比、判断比例、应用比例尺计算距离
- 理解：比是"两个量之间的关系"；比例是"两个比相等"

## 核心概念

### 1. 比
两个数 a、b 相除，记为 **a : b**（读作 "a 比 b"），结果 a/b 称为**比值**。
- 5 : 3 = 5/3 ≈ 1.67
- 6 : 8 = 6/8 = 3/4

### 2. 比的性质
**比的前项后项同时乘 / 除以相同数（不为 0），比值不变。**
- 化简：6 : 8 = 3 : 4（同除以 2）

### 3. 比例
**两个比相等**的式子叫比例。
- 3 : 4 = 6 : 8 → 这就是比例

**比例的基本性质：**
> 外项之积 = 内项之积

即 a : b = c : d ⟺ a × d = b × c

例：3 : 4 = 6 : 8，3 × 8 = 24 = 4 × 6 ✓

### 4. 正比例与反比例
| 类型 | 关系 | 数学形式 |
|------|------|----------|
| 正比例 | 一个量增大，另一个**同比例**增大 | y = k · x（k 为常数）|
| 反比例 | 一个量增大，另一个**反比例**减小 | y = k / x（即 xy = k）|

**正比例**：路程 / 时间 = 速度（速度不变时，路程与时间成正比）
**反比例**：路程 / 速度 = 时间（路程不变时，速度与时间成反比）

### 5. 比例尺
**地图（或图纸）距离 : 实际距离**
- 例：1 : 1000 表示图上 1cm = 实际 1000cm = 10m
- 比例尺**越大**（如 1 : 100），表示越详细但范围小
- 比例尺**越小**（如 1 : 1000000），表示范围大但不详细

**计算公式**：
- 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺（数字形式）
- 图上距离 = 实际距离 × 比例尺

### 6. 三种比例尺表示
- **数字式**：1 : 100000
- **文字式**：图上 1cm 等于实际 1km
- **线段式**：`|———|———|———|` 0  1  2  3 km

## 教学路径

### 1. 导入
- "5 个男生 3 个女生，男女比是多少？"（5 : 3）
- "缩小复印 50%，是什么比例？"（缩印 1 : 2）

### 2. 探究（demo）
- 显示一张地图，可拖动比例尺
- 计算图上距离对应的实际距离
- 切换正/反比例曲线对比

### 3. 抽象
- 比 → 比值 → 比例（两个相等的比）
- 比例的基本性质（交叉相乘）

### 4. 巩固
- 化简比、求未知项
- 比例尺应用

## 例题

### 基础题
1. 化简 12 : 18。
   - 同除以 6：**2 : 3**
2. 求未知项：3 : 4 = x : 16。
   - 由内外项之积 → 3 × 16 = 4x → x = **12**

### 进阶题
3. **比例尺**：地图比例尺 1 : 50000，两地图上 4cm，实际距离？
   - 实际 = 4 × 50000 = 200000cm = **2km**

4. **缩放图纸**：建筑师用 1 : 100 比例画图，房间长 6m，图上画几 cm？
   - 6m = 600cm → 图上 = 600 × (1/100) = **6cm**

### 拓展（应用题）
5. **配比问题**：饮料浓汁 : 水 = 1 : 4，已有 10 杯水，需要多少杯浓汁配出标准饮料？
   - 比例 1 : 4 → 浓汁 = 10 / 4 × 1 = **2.5 杯**

6. **正反比例判断**：长方形面积一定时，长与宽是哪种比例？
   - 长 × 宽 = 面积（常数）→ **反比例**

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 比 = 比值 | 比是"a : b"形式；比值是 a/b 这个数 |
| 比例 = 比 | 比例是两个相等的比组成的"等式" |
| 正比例 = 反比例（搞反）| 正比例 y = kx；反比例 y = k/x |
| 比例尺 1 : 100 中"1"是实际 | 1 是**图上**距离 |

## 配套 demo 用法
- 简化的城市地图 + 比例尺滑块
- 选两点，看图上距离 → 自动算实际距离
- 切换正/反比例曲线对比