# 讲义 22：立体几何投影与三视图

> 配套 demo：[`viz/math/22-solid-geometry.html`](../../viz/math/22-solid-geometry.html)

## 适用学段
**初中（八上"展开图"）+ 高中（必修第二册"立体几何初步"）**。

## 教学目标
- 知道：三视图（正视图 / 侧视图 / 俯视图）的画法
- 会：根据立体图形画三视图；根据三视图还原立体图形
- 理解：三视图是把 3D 物体"压扁"到三个垂直方向上的二维投影

## 核心概念

### 1. 三视图
| 视图 | 投影方向 | 显示 |
|------|----------|------|
| **正视图**（主视图）| 从**前方**看 | 长 + 高 |
| **侧视图**（左视图）| 从**左侧**看 | 宽 + 高 |
| **俯视图** | 从**上方**看 | 长 + 宽 |

### 2. 三视图的"三规则"
- **长对正**：正视图与俯视图的**长**相等
- **高平齐**：正视图与侧视图的**高**相等
- **宽相等**：侧视图与俯视图的**宽**相等

### 3. 常见立体图形的三视图

#### 长方体 / 正方体
- 三视图都是**矩形 / 正方形**

#### 圆柱（底面在地）
- 正视图、侧视图：**矩形**
- 俯视图：**圆 + 中心点**

#### 圆锥（顶在上）
- 正视图、侧视图：**等腰三角形**
- 俯视图：**带圆心的圆**

#### 球
- 三视图都是**圆**

### 4. 展开图（侧面展开）
| 立体 | 侧面展开 |
|------|----------|
| 长方体 | 6 个矩形相连 |
| 正方体 | "一字" / "T 字" / "L 字" 等 11 种基本展开图 |
| 圆柱 | 矩形（长 = 底面周长 = 2πr，宽 = 高）+ 两个圆 |
| 圆锥 | 扇形（半径 = 母线，弧长 = 底面周长）+ 1 个圆 |

### 5. 体积与表面积公式
| 立体 | 体积 V | 表面积 S |
|------|--------|----------|
| 长方体 | abc | 2(ab + bc + ca) |
| 正方体 | a³ | 6a² |
| 圆柱 | πr²h | 2πr² + 2πrh |
| 圆锥 | πr²h/3 | πr² + πrl（l 是母线）|
| 球 | (4/3)πr³ | 4πr² |

**重要关系**：等底等高时，圆锥体积 = 圆柱的 1/3。

## 教学路径

### 1. 导入
"工程师怎么用 2D 图纸描述 3D 物体？" → 引出三视图。

### 2. 探究（demo）
- 显示 3D 立方体 / 圆柱 / 圆锥（可旋转看角度）
- 旁边同步显示三个二维视图
- 拖动立体可旋转，看视图不变

### 3. 抽象
- 三视图 = 三个方向的"压扁"
- "长对正、高平齐、宽相等"是核心约束

### 4. 巩固
- 给立体图形画三视图
- 给三视图还原立体（**逆向题，高考常见**）

## 例题

### 基础题
1. 长方体长 4cm、宽 3cm、高 2cm。求体积和表面积。
   - V = 4 × 3 × 2 = **24 cm³**
   - S = 2(12 + 6 + 8) = **52 cm²**

2. 一个圆柱底面半径 2cm，高 5cm。求体积。
   - V = π × 4 × 5 = **20π ≈ 62.8 cm³**

### 进阶题
3. **圆柱展开**：一个圆柱底面半径 3cm，高 4cm。求侧面积（展开后的矩形面积）。
   - 矩形长 = 底面周长 = 2π × 3 = 6π
   - 矩形宽 = 高 = 4
   - 侧面积 = 6π × 4 = **24π ≈ 75.4 cm²**

4. **圆锥体积**：与圆柱等底等高的圆锥，体积是圆柱的 1/3。如果圆柱体积是 60cm³，圆锥体积？
   - 答：**20 cm³**

### 拓展（高考）
5. **三视图还原**：正视图、侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆。这是什么立体？
   - 答：**圆锥**

6. **球的最大球内接立方体**：半径为 R 的球内接立方体，边长 = ?
   - 立方体体对角线 = 球直径 = 2R
   - 设边长 a：a√3 = 2R → a = 2R/√3 = (2√3/3)R

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 圆锥体积 = 圆柱 (×) | 圆锥 = 圆柱的 **1/3**（同底同高）|
| 球表面积公式 | 4πr²（不是 πr² 也不是 πd²）|
| 圆柱侧面是曲面 | 展开是矩形 |
| 把展开图反推时方向错 | 思考"哪条边对应底面、哪条对应高" |

## 配套 demo 用法
- 3D 立体（立方体 / 圆柱 / 圆锥 / 球），可拖动鼠标旋转视角
- 旁边同步显示正视图 / 侧视图 / 俯视图
- 切换"展开图"模式：圆柱展开成矩形 + 两个圆；圆锥展开成扇形 + 圆
- 显示体积、表面积数值（可调参数）