# 讲义 21：圆锥曲线参数

> 配套 demo：[`viz/math/21-conic-sections.html`](../../viz/math/21-conic-sections.html)

## 适用学段
**高中（选择性必修第一册"圆锥曲线"）**。高考解析几何重点。

## 教学目标
- 知道：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及焦点定义
- 会：根据 a、b 参数画图象；找焦点位置；理解离心率
- 理解：三种曲线都是"到焦点距离 + 到准线距离"的几何轨迹

## 核心概念

### 1. 三种圆锥曲线（由平面切圆锥得到）
| 曲线 | 标准方程 | 几何定义 |
|------|----------|----------|
| **椭圆** | x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) | 到两焦点距离之**和**为常数 2a |
| **双曲线** | x²/a² − y²/b² = 1 | 到两焦点距离之**差的绝对值**为常数 2a |
| **抛物线** | y² = 2px 或 x² = 2py | 到焦点距离 = 到准线距离 |

### 2. 椭圆 x²/a² + y²/b² = 1
- a：**长半轴**（x 方向）
- b：**短半轴**（y 方向）
- c：焦距的一半，c² = a² − b²
- **焦点**：F₁(−c, 0)，F₂(c, 0)
- **离心率** e = c/a，0 < e < 1（e 越大椭圆越扁）
- 任意点 P 到两焦点距离和：|PF₁| + |PF₂| = **2a**

### 3. 双曲线 x²/a² − y²/b² = 1
- a：实半轴
- b：虚半轴
- c：焦距的一半，**c² = a² + b²**（注意是+！）
- **焦点**：F₁(−c, 0)，F₂(c, 0)
- **离心率** e = c/a > 1
- **渐近线**：y = ±(b/a) x
- 任意点 P：||PF₁| − |PF₂|| = **2a**

### 4. 抛物线 y² = 2px
- p > 0：开口向右
- p < 0：开口向左
- **焦点**：F(p/2, 0)
- **准线**：x = −p/2
- 任意点 P：|PF| = |P 到准线距离|

### 5. 离心率（统一定义）
对任何圆锥曲线：e = 到焦点距离 / 到准线距离
- 椭圆：0 < e < 1
- 抛物线：e = 1
- 双曲线：e > 1

**离心率反映曲线的"扁瘦"程度**。

### 6. 实际应用
- 太阳系行星轨道：椭圆（开普勒第一定律）
- 抛物面反射器：天线、望远镜
- 切尔诺贝利核电站冷却塔：双曲线截面
- 桥梁悬索：抛物线（理想情况）

## 教学路径

### 1. 导入
- "为什么火箭发射沿抛物线？" → 引出二次曲线
- 展示三种圆锥曲线（切圆锥模型）

### 2. 探究（demo）
- 选择曲线类型（椭圆 / 双曲线 / 抛物线）
- 拖动参数 a、b 滑块
- 看曲线形状如何变化、焦点位置如何变化
- 显示离心率

### 3. 抽象
- 三种曲线都由"焦点 + 准线 + 离心率"统一描述
- 离心率 = 1 是抛物线的分界线

### 4. 巩固
- 给标准方程求焦点
- 给焦点和定点求方程

## 例题

### 基础题
1. 椭圆 x²/9 + y²/4 = 1 的焦点坐标？
   - a = 3, b = 2, c² = 9 - 4 = 5, c = √5
   - 焦点：(±√5, 0)

2. 双曲线 x²/4 - y²/12 = 1 的渐近线？
   - a = 2, b = 2√3
   - y = ±(b/a) x = ±√3 x

### 进阶题
3. **求椭圆方程**：椭圆经过 (2, 0) 和 (0, 1)。求标准方程。
   - 设 x²/a² + y²/b² = 1
   - (2, 0) 代入：4/a² = 1 → a = 2
   - (0, 1) 代入：1/b² = 1 → b = 1
   - 方程：x²/4 + y² = 1

4. **抛物线**：抛物线 y² = 8x 的焦点和准线。
   - 2p = 8 → p = 4
   - 焦点：(p/2, 0) = (2, 0)
   - 准线：x = -2

### 拓展（高考）
5. **离心率求值**：椭圆离心率 e = 1/2，焦点在 x 轴，过 (2, 0)。求方程。
   - 由 (2, 0) 在椭圆上 → a = 2
   - e = c/a = 1/2 → c = 1
   - b² = a² − c² = 3 → 方程 x²/4 + y²/3 = 1

6. **轨迹问题**：动点 P 到 (-2, 0) 和 (2, 0) 距离之和为 6。求 P 的轨迹。
   - 这是椭圆的定义：2a = 6 → a = 3
   - 2c = 4 → c = 2
   - b² = 9 − 4 = 5 → 椭圆 x²/9 + y²/5 = 1

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 椭圆和双曲线 c² 公式搞反 | 椭圆 c² = a² − b²；双曲线 c² = a² + b² |
| 把"焦距"当作 c | 焦距 = 2c，c 是焦距**的一半** |
| 椭圆离心率范围 | 0 < e < 1（e=0 时是圆，e=1 时退化）|
| 抛物线焦点 = 准线交点 | 焦点和准线分别在对称轴两侧 |

## 配套 demo 用法
- 切换"椭圆 / 双曲线 / 抛物线"
- 拖动 a、b 滑块
- 显示焦点（红点）和准线（虚线）
- 拖动点 P 验证"到焦点距离 ±= 2a"或"= 到准线距离"