# 讲义 20：反比例函数 y = k/x

> 配套 demo：[`viz/math/20-inverse-function.html`](../../viz/math/20-inverse-function.html)

## 适用学段
**初中（九年级下，人教版）**。

## 教学目标
- 知道：反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）的图象是**双曲线**
- 会：根据 k 判断双曲线在哪两个象限
- 理解：反比例关系的实际含义——**两者乘积为常数**

## 核心概念

### 1. 定义
若 y = k/x（k ≠ 0，k 是常数），则称 y 是 x 的**反比例函数**。
等价形式：xy = k 或 y = k · x⁻¹。

**定义域**：x ≠ 0（分母不能为 0）

### 2. 图象：双曲线
反比例函数 y = k/x 的图象由**两支**构成：
- **k > 0**：图象在**第一、三**象限（双曲线"对角"分布）
- **k < 0**：图象在**第二、四**象限

### 3. 性质
| 性质 | k > 0 | k < 0 |
|------|-------|-------|
| 所在象限 | 一、三 | 二、四 |
| 在每个象限内的单调性 | **递减**（y 随 x 增大而减小） | **递增** |
| 对称性 | 关于原点中心对称 | 关于原点中心对称 |
| 渐近线 | x 轴和 y 轴 | x 轴和 y 轴 |

**重要：单调性只能在每个象限内讨论**，不能跨象限。

### 4. k 的几何意义
- 对于双曲线 y = k/x 上任意一点 P(x, y)，|x| · |y| = |k|
- 过 P 作 x 轴和 y 轴的垂线，所围成的矩形面积 = |k|（永远恒定！）

### 5. 实际生活中的反比例
- **路程一定时**，速度 × 时间 = 路程（v 和 t 反比）
- **总价一定时**，单价 × 数量 = 总价（p 和 n 反比）
- **面积一定的长方形**，长 × 宽 = 面积（长和宽反比）
- **气压**：定温下气体体积 V 和压强 p 反比（玻意耳定律 pV = nRT）

## 教学路径

### 1. 导入
"5 个人吃 5 斤米，10 个人吃几斤？"（正比例）
"100 元钱买几斤水果，单价 5 元买几斤？10 元买几斤？" → 单价与数量反比 → 反比例。

### 2. 探究（demo）
- 显示 y = k/x，初始 k = 4
- 拖动 k 滑块：看双曲线如何变形
- 选择动点 P，看 |x| · |y| 永远 = |k|

### 3. 抽象
- 反比例 ↔ 乘积固定
- 双曲线两支在对角象限

### 4. 巩固
- 给图象读 k
- 应用题：路程速度时间、气体压强体积

## 例题

### 基础题
1. y = -6/x 的图象在哪两个象限？
   - k = -6 < 0 → 第二、四象限

2. 反比例函数 y = k/x 过点 (2, 3)，求 k。
   - k = 2 × 3 = 6 → y = 6/x

### 进阶题
3. **比较大小**：函数 y = -2/x 上有两点 (-3, y₁) 和 (1, y₂)。比较 y₁ 和 y₂。
   - x = -3 在第三象限上方 → y₁ > 0（具体：y₁ = 2/3）
   - x = 1 在第四象限下方 → y₂ < 0（具体：y₂ = -2）
   - y₁ > y₂

4. **矩形面积恒定**：反比例 y = 4/x 上点 P(2, 2)。过 P 作 x 轴、y 轴垂线，围成矩形面积 = ?
   - |x| · |y| = |k| = 4 → 矩形面积 = **4**

### 拓展
5. **物理应用**（玻意耳定律）：一定量气体在恒温下，体积 V 和压强 p 满足 pV = 100（k=100）。当 V 从 5 L 增大到 10 L 时，p 怎么变？
   - p = 100/V：V=5 时 p=20；V=10 时 p=10 → 压强**减半**

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 反比例双曲线连通 | 错。**两支不连通**，分别在对角象限 |
| 单调性跨象限 | **每个象限内**才有单调性 |
| 反比例 = y = -x | y = -x 是一次函数（线性递减），不是反比例 |
| 把 y = k/x 当成 y = -k/x | 注意正负号 |

## 配套 demo 用法
- 调 k 值，看双曲线在不同象限的变化
- 拖动 P 点：实时显示 P 坐标和"P 到坐标轴构成的矩形面积"恒等于 |k|
- 切换"k > 0 / k < 0"看两种情况