# 讲义 19：圆周角定理

> 配套 demo：[`viz/math/19-inscribed-angle.html`](../../viz/math/19-inscribed-angle.html)

## 适用学段
**初中（九年级上，人教版"圆"章节）**。后续解析几何（圆的方程）的几何基础。

## 教学目标
- 知道：**同弧所对的圆周角等于圆心角的一半**
- 会：用圆周角定理求角度；识别"同弧 / 同弦"对应的圆周角
- 理解：圆周角定理的简洁性 → 圆是高度对称的图形

## 核心概念

### 1. 圆周角与圆心角
- **圆心角**：顶点在**圆心**的角
- **圆周角**：顶点在**圆上**、两边都是圆的弦

### 2. 圆周角定理
> **同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半。**
> ∠APB = ½ ∠AOB（其中 P 在 AB 弧的另一侧）

### 3. 推论
**① 同弧（或等弧）所对的圆周角相等。**
不论 P 在弧上哪个位置，∠APB 总是同一个值。

**② 半圆所对的圆周角是直角（90°）。**
- 直径所对的圆周角恒为 90°。这是构造直角的常用技巧。

**③ 90° 圆周角所对的弦是直径。**
- 反过来也成立。

### 4. 圆内接四边形
- **四个顶点都在同一圆上的四边形**称圆内接四边形
- **性质**：对角互补（∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°）

### 5. 弧、弦、圆心角关系
**同圆中**：
- 弧等 ⇔ 弦等 ⇔ 圆心角等

## 教学路径

### 1. 导入
"为什么一群人围着圆桌讨论时大家看圆心的角度都一样？" → 引出"同弧对同角"。

### 2. 探究（demo）
- 显示圆 + 弦 AB + 一动点 P 在圆上
- 拖动 P 沿圆周移动：观察 ∠APB 的变化
- 结果：**只要 P 不跨过 AB**，∠APB 保持不变
- 同时显示圆心角 ∠AOB → 永远 = 2 × ∠APB

### 3. 抽象
- 圆心角 = 2 × 圆周角
- 半圆 → 直径 → 90°

### 4. 巩固
- 解直角三角形（用直径构造）
- 圆内接四边形对角互补

## 例题

### 基础题
1. 弧 AB 对应的圆心角 ∠AOB = 80°，求弧 AB 所对的圆周角。
   - 答：40°

### 进阶题
2. **直径对直角**：圆 O 中，AB 是直径，C 在圆上。证明 ∠ACB = 90°。
   - 圆心角 ∠AOB = 180°（直径）
   - 圆周角 ∠ACB = ½ × 180° = **90°**

3. **同弧多角**：圆 O 中，C、D 都在弦 AB 的同侧。证 ∠ACB = ∠ADB。
   - 两者都是弧 AB 所对的圆周角 → 相等

4. **圆内接四边形**：四边形 ABCD 内接于圆 O，∠B = 100°。求 ∠D。
   - 对角互补：∠D = 180° - 100° = **80°**

### 拓展（中考）
5. **综合**：圆中弦 AB 的中点为 M，AB = 8，圆 O 半径 = 5。求 OM。
   - 直角△AMO 中，OA = 5（半径），AM = 4（AB 中点）
   - OM = √(25 - 16) = **3**

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 圆心角 = ½ 圆周角 | 反了！**圆心角 = 2 × 圆周角** |
| 不同弧对应的圆周角可以相等 | 同弧（或等弧）才能保证相等 |
| 把弦中点和弧中点搞混 | 弦中点 = 几何中点；弧中点 = 弧上中点 |

## 配套 demo 用法
- 画圆 + 弦 AB
- 拖动动点 P 在圆上移动（可点击改变位置）
- 实时显示：∠APB（圆周角）、∠AOB（圆心角）
- 验证：圆心角 = 2 × 圆周角
- 切换"半圆模式"：AB 变成直径，看 ∠APB 总为 90°