# 讲义 18：相似三角形

> 配套 demo：[`viz/math/18-similar-triangles.html`](../../viz/math/18-similar-triangles.html)

## 适用学段
**初中（九年级下，人教版）**。后续解析几何、三角函数的基础。

## 教学目标
- 知道：相似三角形的定义（**形状相同、大小不一定相同**）
- 会：用三种判定方法判定两三角形相似；运用相似比求边长
- 理解：相似 = 缩放 + 平移 + 旋转 + 镜像的组合

## 核心概念

### 1. 定义
两个三角形若**对应角相等、对应边成比例**，则相似。
- 记号：△ABC ∽ △A'B'C'（注意顶点对应顺序）
- 相似比 k = A'B' / AB = B'C' / BC = C'A' / CA

### 2. 三大判定方法

#### A. AA（两角对应相等）
- **最常用**！两组对应角相等 → 相似
- 因为三角形内角和=180°，所以两角等就足够

#### B. SAS（两边成比例且夹角相等）
- 两组对应边成比例 + 它们的夹角相等

#### C. SSS（三边对应成比例）
- 三组对应边都成比例

### 3. 相似的性质
- **对应角相等**
- **对应边成比例**（系数 = 相似比 k）
- **对应高、中线、角平分线之比** = k
- **周长之比** = k
- **面积之比** = k²（关键！）

### 4. 常见相似图形

#### A. "A 字形"（斜截三角形）
DE ∥ BC → △ADE ∽ △ABC（共顶点 A，DE 和 BC 平行）

#### B. "X 字形"（蝴蝶形）
AB 和 CD 相交于 O，AC ∥ BD → △AOC ∽ △BOD

#### C. "母子相似"（直角三角形内）
直角三角形中作斜边上的高，把它分成两个小三角形，**两个小三角形都和原三角形相似**。
$$AC^2 = AB \cdot AD, \quad BC^2 = AB \cdot BD$$

### 5. 实际应用
| 应用 | 思路 |
|------|------|
| 测旗杆高度 | 太阳光照下，旗杆和人的影子构成相似三角形 |
| 测河宽 | 在岸边构造相似三角形 |
| 缩放地图 | 比例尺 = 相似比 |

## 教学路径

### 1. 导入
"两张同样照片，一大一小，对应位置点的连线、比例有什么关系？" → 引出相似。

### 2. 探究（demo）
- 拖动一个三角形的一个顶点
- 看另一个三角形如何按比例自动跟随变化
- 显示对应角、对应边比、面积比

### 3. 抽象
- 相似 = 形状不变（同构）
- 三种判定（AA / SAS / SSS）

### 4. 巩固
- 找图中所有相似三角形（应用题型）
- 计算高度、宽度等实际问题

## 例题

### 基础题
1. △ABC ∽ △DEF，相似比 2:3，△ABC 面积 8 cm²，求 △DEF 面积。
   - 面积比 = 2² : 3² = 4 : 9 → △DEF = 8 × 9/4 = **18 cm²**

### 进阶题
2. **A 字形**：△ABC 中，D 在 AB 上、E 在 AC 上，DE ∥ BC，AD = 4、DB = 2、BC = 9。求 DE。
   - △ADE ∽ △ABC，相似比 = AD/AB = 4/6 = 2/3
   - DE = 9 × 2/3 = **6**

3. **测高问题**：阳光下电线杆影长 12m，1.6m 高的人影长 2m。求电线杆高。
   - 设杆高 h：h/12 = 1.6/2 → h = **9.6m**

### 拓展（中考综合）
4. **母子相似**：直角△ABC 中，∠C = 90°，CD ⊥ AB 于 D。AD = 4，BD = 9。求 CD。
   - CD² = AD × BD = 4 × 9 = 36 → CD = **6**

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 对应顺序写错 | △ABC ∽ △DEF 表示 A↔D, B↔E, C↔F |
| 面积比 = 相似比 | 面积比 = **相似比²** |
| 把"全等"等同"相似" | 全等是 k=1 的特殊相似 |
| 找相似只看边不看角 | 必须**对应角等 + 对应边比例**（除非 SSS 三边）|

## 配套 demo 用法
- 显示两个三角形（蓝、红）
- 拖动相似比滑块，红三角形按比例缩放
- 同步显示对应边比、对应角、面积比
- "证明模式"：点击相似定理（AA/SAS/SSS）看不同判定方法