# 讲义 17：因数与倍数（综合）

> 五下"因数与倍数"完整知识体系，配合 [[埃氏筛]] demo 使用。

## 适用学段
小学五年级下学期。

## 教学目标
- 知道：因数、倍数、公因数、公倍数、最大公因数 GCD、最小公倍数 LCM
- 会：求 GCD 和 LCM；分解质因数；判断 2/3/5 的倍数
- 理解：因数与倍数是"相对"的关系（无所谓"绝对的因数"）

## 核心概念

### 1. 因数与倍数
若 a × b = c（a、b、c 都是非零自然数），则 a 和 b 都是 c 的**因数**，c 是 a 和 b 的**倍数**。

注意：**离开了 c，单独说 "a 是因数" 没意义**。

### 2. 找因数的方法
**成对找**：找 a 时，a×b = c，找到 a 必有 b（b = c/a）。
- 12 的因数：1×12, 2×6, 3×4 → {1, 2, 3, 4, 6, 12}（6 个）
- 36 的因数：1×36, 2×18, 3×12, 4×9, 6×6 → {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}（9 个）

### 3. 倍数特征
| 数 | 倍数特征 |
|----|----------|
| 2 | 末位是 0/2/4/6/8（偶数）|
| 5 | 末位是 0 或 5 |
| 3 | 各位数字之和能被 3 整除（如 132：1+3+2=6 ✓）|
| 9 | 各位数字之和能被 9 整除 |
| 10 | 末位是 0 |
| 4 | 末两位能被 4 整除 |
| 11 | 奇偶位之差为 0 或 11 的倍数（如 9 是 11 倍：9 = 9-0=9，✗。121：1-2+1=0 ✓） |

### 4. 质数与合数
| 类型 | 定义 | 例子 |
|------|------|------|
| 质数（素数）| 只有两个因数：1 和它本身 | 2, 3, 5, 7, 11, ... |
| 合数 | 除 1 和本身还有其他因数 | 4, 6, 8, 9, 10, ... |
| 1 | 只有 1 个因数，**既不是质数也不是合数** | 1 |

**100 以内 25 个质数**：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。

> 详见 [[lesson-08-sieve-primes]] 讲义和 demo。

### 5. 分解质因数
把一个合数写成几个质数相乘的形式（**质因数分解**）。
- 60 = 2² × 3 × 5
- 84 = 2² × 3 × 7
- 100 = 2² × 5²

**短除法**：用最小的质数从小到大试除。

### 6. 最大公因数（GCD）
两数共同的因数中**最大**的那一个。
- gcd(12, 18) = 6
- gcd(15, 25) = 5
- gcd(7, 11) = 1（互质）

**求法 1**：列出两数所有因数，找最大公共因数。
**求法 2**：质因数分解，**取共同的质因数**相乘。
- 60 = 2² × 3 × 5; 84 = 2² × 3 × 7 → 共同：2² × 3 = 12 → gcd = **12**

**求法 3**（拓展）：**辗转相除法**（欧几里得算法）
- gcd(60, 84): 84 = 60·1 + 24; 60 = 24·2 + 12; 24 = 12·2 + 0 → gcd = **12**

### 7. 最小公倍数（LCM）
两数共同的倍数中**最小**的那一个（非零）。
- lcm(12, 18) = 36
- lcm(4, 6) = 12

**求法**：质因数分解，**取所有质因数的最高次幂**相乘。
- 60 = 2² × 3 × 5; 84 = 2² × 3 × 7 → 取最高次：2² × 3 × 5 × 7 = **420**

### 8. 重要关系
$$\text{gcd}(a, b) \times \text{lcm}(a, b) = a \times b$$

验证：gcd(12, 18) × lcm(12, 18) = 6 × 36 = 216 = 12 × 18 ✓

### 9. 互质
gcd(a, b) = 1，则 a 和 b 互质。
- 7 和 9 互质（gcd = 1）
- 12 和 25 互质
- **任意两个不同的质数**一定互质

## 教学路径

### 1. 导入
"把 12 颗糖分给小朋友，能分给几个人（每人分到整数颗）？" → 因数。

### 2. 探究
- 写 12 的因数 → 列出 6 个
- 写 18 的因数 → 列出 6 个
- 公共部分 → 公因数 {1, 2, 3, 6}，最大的就是 GCD = 6

### 3. 抽象
- GCD = "最大共同的能整除两者"
- LCM = "最小共同的两者都能整除"
- 关系：GCD × LCM = a × b

### 4. 巩固
- 求 GCD / LCM 的应用：分包装、切方块、组队

## 例题

### 基础题
1. 24 的所有因数？
   - 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24（8 个）
2. 36 是 9 的倍数吗？是 4 的倍数吗？
   - 是 9 的倍数（36÷9 = 4）；是 4 的倍数（36÷4 = 9）

### 进阶题
3. **求 gcd(48, 60)**。
   - 48 = 2⁴ × 3, 60 = 2² × 3 × 5
   - 共同：2² × 3 = 12

4. **求 lcm(8, 12, 15)**。
   - 8 = 2³, 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5
   - 最高次：2³ × 3 × 5 = 120

### 应用题
5. **分包装**：有 24 块饼干和 36 颗糖果，要分成相同数量的礼包（每个礼包饼干同样多、糖果同样多）。最多分几包？
   - 即求 gcd(24, 36) = 12 → **12 包**
6. **公共周期**：A 每 4 天去图书馆一次，B 每 6 天去一次。今天两人都去了，几天后再次同时去？
   - 即求 lcm(4, 6) = 12 → **12 天后**

### 拓展（思维题）
7. **奇数因子数**：一个数的因数个数为奇数的充要条件是？
   - 答：该数是**完全平方数**（如 1, 4, 9, 16, 25...）。原因：因数成对出现，只有 √n 是因数时不成对。

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 把 1 当质数或合数 | 1 既不是质数也不是合数 |
| gcd 和 lcm 搞反 | gcd 是"最大公**因**数"（小的）；lcm 是"最小公**倍**数"（大的）|
| 求 lcm 取最低次 | 应取**最高次**（取低次只是 gcd）|
| 互质 = 都是质数 | 错。互质只要求 gcd=1，如 12 和 25 互质但都不是质数 |