# 讲义 16：行程问题（综合）

> 小学经典应用题之首。无 demo（属于"题型方法论"类）。

## 适用学段
小学五六年级；初中可用方程组深化。

## 教学目标
- 知道：行程问题的三大基本量——**速度 v、时间 t、路程 s**，关系 s = v · t
- 会：识别相遇问题、追及问题、流水行船的标准模型
- 理解：所有行程问题都是"速度 × 时间 = 路程"三个量的变形

## 核心公式

> **s = v × t**（路程 = 速度 × 时间）
> v = s ÷ t，  t = s ÷ v

## 三种基本模型

### 1. 相遇问题
**两人相向而行，最终相遇。**
$$s_{两人间距} = (v_1 + v_2) \times t_{相遇}$$
**关键**：用**速度和**乘以时间。

**例**：甲乙两人相距 60 km 相向出发，甲 6 km/h，乙 4 km/h。多久相遇？
- t = 60 / (6 + 4) = **6 小时**

### 2. 追及问题
**两人同向而行，速度快的追慢的。**
$$s_{两人初始间距} = (v_{快} - v_{慢}) \times t_{追及}$$
**关键**：用**速度差**乘以时间。

**例**：甲在乙后 12 km，甲速 8 km/h、乙速 5 km/h。多久追上？
- t = 12 / (8 - 5) = **4 小时**

### 3. 流水行船
水有速度 v_水，船在静水中速度 v_船：
- **顺水速度** = v_船 + v_水
- **逆水速度** = v_船 - v_水

**记忆**：顺水加，逆水减。

**关键技巧**：**两次速度的平均值 = 船速**；**两次速度的差 ÷ 2 = 水速**。
- 顺水 + 逆水 = 2v_船 → 船速 = (顺 + 逆) / 2
- 顺水 - 逆水 = 2v_水 → 水速 = (顺 - 逆) / 2

## 衍生题型

### A. 多次相遇
两人在跑道相向走（环形或往返），求第 n 次相遇时刻：
- 直线（往返）：第 n 次相遇时合走 (2n - 1)s（n=1 即一次相遇时合走 s）
- 环形：第 n 次相遇合走 n · 环长

### B. 火车过桥
火车从车头进桥到车尾出桥的时间 = (桥长 + 车长) / 车速

### C. 钟表追及
时针每小时转 30°，分针每小时转 360°。追及问题：分针追时针的速度差是 (360 - 30) = 330°/小时 = 5.5°/分钟。

例：12 点开始，分针第一次追上时针在几点？
- 0 时分针追时针，差 0；下一次重合需要 360°
- 不，分针在时针前，开始时两针重合（12:00）
- 下一次重合：相对速度 5.5°/min，要追 360°
- 时间 = 360 / 5.5 ≈ 65.45 min ≈ 1 点 5.45 分

## 教学路径

### 1. 导入
"两个朋友约着见面，怎么算什么时候碰头？" → 引出速度和。

### 2. 探究
- 用线段图直观表示：起点、终点、运动方向、相遇点
- 强调速度和（相向）vs 速度差（同向）

### 3. 抽象
- 公式背后是"共同时间内，两人合走的路 = 初始间距"

### 4. 巩固
- 多次相遇、火车过桥、钟表追及

## 例题（含详解）

### 基础题
1. 甲乙两地距 240 km，火车 4 小时走完，求平均速度。
   - v = s/t = 240/4 = **60 km/h**

2. 一人步行 5 km/h，跑 4 小时能到多远？
   - s = vt = 5×4 = **20 km**

### 进阶（多次相遇）
3. **环形跑道**：跑道长 400m，甲速 5m/s、乙速 3m/s，同时同向出发。何时第一次相遇？
   - 追及问题（同向，速度差 = 2 m/s）
   - 时间 t = 400 / 2 = **200 秒**

4. **直线往返**：甲乙相距 600m，甲速 4m/s、乙速 6m/s 相向出发。第 3 次相遇时合走多远？
   - 第一次相遇合走 600m
   - 之后每次相遇合走 1200m（再相遇要再合走一个 2 倍路程）
   - 第 3 次合走 = 600 + 2 × 1200 = **3000m**

### 流水行船
5. 船顺水 30 km/h、逆水 18 km/h。求船速和水速。
   - 船速 = (30 + 18) / 2 = **24 km/h**
   - 水速 = (30 - 18) / 2 = **6 km/h**

### 拓展（中考）
6. **甲乙绕环形跑道反向跑步**，每 30 秒相遇一次。同向跑时甲超乙 1 圈用 5 分钟。求各自速度。
   - 设环长 1，甲速 a、乙速 b
   - 相遇：30(a + b) = 1 → a + b = 1/30
   - 追及：300(a - b) = 1 → a - b = 1/300
   - 解：a = 11/600, b = 9/600（即 11:9 之比）

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 相遇用速度差 / 追及用速度和 | **相向用和、同向用差**！别搞反 |
| 流水问题忘记反方向 | 顺水加水速、逆水减水速 |
| 多次相遇求合走距离 | 第 n 次相遇合走 (2n-1)s（直线往返）或 ns（环形） |
| 火车过桥不算车长 | 必须 (桥长 + 车长) |

## 解题方法论
1. **画线段图**：起点、终点、方向、特殊点（出发、相遇、追及）
2. **找等量关系**：什么量 = 什么量
3. **设元代入**：用 s = vt 套
4. **检验**：把结果代回去核对