# 讲义 15：定积分的几何意义——黎曼和

> 配套 demo：[`viz/math/15-riemann-integral.html`](../../viz/math/15-riemann-integral.html)

## 适用学段
**高中（选择性必修第二册"定积分初步"）**或大学微积分入门。

## 教学目标
- 知道：定积分 = 函数 f(x) 在 [a, b] 上与 x 轴围成的曲边梯形**面积**（带正负号）
- 会：用矩形分割逼近曲边面积（黎曼和）
- 理解：分割越细 → 黎曼和越接近真实面积 = 定积分

## 核心概念

### 1. 定积分的定义
将区间 [a, b] 等分为 n 段，每段长 Δx = (b - a)/n。在第 i 段任取一点 ξᵢ，构造**黎曼和**：
$$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \cdot \Delta x$$

当 n → ∞（Δx → 0）时，黎曼和的极限就是定积分：
$$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \cdot \Delta x$$

### 2. 几何意义
- f(x) > 0 时：定积分 = 曲线与 x 轴之间的**面积**
- f(x) < 0 时：定积分 = **负数**（图象在 x 轴下方）
- 跨越 x 轴：上下面积**带符号**相消

### 3. 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
若 F(x) 是 f(x) 的一个原函数（F'(x) = f(x)），则：
$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

记号：F(b) - F(a) = [F(x)]ₐᵇ。

### 4. 三种黎曼和（取点方式不同）
| 名称 | 取点 ξᵢ | 特征 |
|------|---------|------|
| **左和** | 每段左端 | 凸函数时偏低、凹函数时偏高 |
| **右和** | 每段右端 | 反之 |
| **中和**（中点法则） | 每段中点 | 通常更准确 |

n → ∞ 时三者都收敛到同一定积分。

### 5. 常用积分公式
| 函数 | 原函数（不定积分）|
|------|------|
| xⁿ (n ≠ -1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C |
| 1/x | ln\|x\| + C |
| sin x | -cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| eˣ | eˣ + C |

## 教学路径

### 1. 导入（10 分钟）
"曲线 y = x² 在 [0, 1] 之间和 x 轴围成的面积怎么算？"
- 提示：长方形面积容易，曲边怎么办？
- 思路："用很多窄长方形拼"。

### 2. 探究（25 分钟）— 用 demo
- demo 显示 y = x² 在 [0, 1] 上的曲边图形
- 滑块控制 n（分段数）：1, 2, 5, 10, 50, 200
- 显示左和、右和、真实积分值
- 看到 n 越大，矩形拼出的总面积越接近真实值（0.333...）

### 3. 抽象（10 分钟）
- 分割 → 求和 → 取极限：这就是"积分"的本质
- 微积分基本定理把"几何面积"和"原函数"联系起来

### 4. 巩固（15 分钟）
- 用公式算 ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3
- 算 ∫₀^π sin x dx = [-cos x]₀^π = -(-1) - (-1) = 2
- 用 demo 验证以上结果

## 例题

### 基础题
1. 求 ∫₀² 3x² dx。
   - 原函数 x³ → [x³]₀² = 8 - 0 = 8
2. 求 ∫₀^π/2 cos x dx。
   - [sin x]₀^π/2 = 1 - 0 = 1

### 进阶题
3. **算面积**：求曲线 y = x² 与 y = 2x 在 [0, 2] 内围成的图形面积。
   - 交点：x² = 2x → x = 0 或 2
   - 在 [0, 2] 内 2x > x²
   - 面积 = ∫₀² (2x - x²) dx = [x² - x³/3]₀² = 4 - 8/3 = 4/3

4. **物理应用**：物体速度 v(t) = 3t² (m/s)，求 t = 1 到 t = 3 之间的位移。
   - 位移 = ∫₁³ 3t² dt = [t³]₁³ = 27 - 1 = 26 m

### 拓展
5. **旋转体体积**（理科）：y = x² 在 [0, 1] 绕 x 轴旋转一周的体积。
   - V = π ∫₀¹ (x²)² dx = π · [x⁵/5]₀¹ = π/5

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 不分上下 | f(x) < 0 时积分**带负号**。算面积要用 \|f(x)\| |
| 忘了减下界 | 牛顿-莱布尼茨公式必须是 F(b) − F(a)，不能漏减 F(a) |
| 把不定积分 + C 写到定积分里 | 定积分有具体值，不带 + C |
| 求积分但实际要求面积 | "面积"要保证非负；积分可能负 |

## 配套 demo 用法
- 选择被积函数（x²、sin x、1-x²、x³ 等）
- 滑动 n 分段数（1 ~ 200）
- 切换左和 / 右和 / 中和
- 实时显示当前黎曼和与真实积分值
- 看着矩形条变窄、总面积逼近真值