# 讲义 14：导数的几何意义——切线斜率

> 配套 demo：[`viz/math/14-derivative-tangent.html`](../../viz/math/14-derivative-tangent.html)

## 适用学段
**高中（选择性必修第二册）**。微积分入门、后续函数极值分析、物理学瞬时速度的基础。

## 教学目标
- 知道：函数 f(x) 在某点 x₀ 处的导数 f'(x₀) = 该点切线斜率
- 会：用极限的思想从"割线"逼近到"切线"
- 理解：导数 = 瞬时变化率 = 切线斜率（三种解释统一）

## 核心概念

### 1. 平均变化率
对于函数 y = f(x)，从 x₀ 到 x₀ + h 的平均变化率：
$$\bar{k} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$
这是过两点 (x₀, f(x₀)) 和 (x₀ + h, f(x₀ + h)) 的**割线斜率**。

### 2. 瞬时变化率（导数）
当 h → 0 时，**割线无限逼近切线**，平均变化率的极限就是**瞬时变化率**，记作 f'(x₀)：
$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

**几何意义**：f'(x₀) = 函数图象在点 (x₀, f(x₀)) 处的**切线斜率**。

### 3. 切线方程
若 f'(x₀) 存在，则切线方程为：
$$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$

### 4. 常见函数的导数
| f(x) | f'(x) |
|------|-------|
| C（常数） | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| sin x | cos x |
| cos x | -sin x |
| eˣ | eˣ |
| ln x | 1/x |
| aˣ | aˣ ln a |

### 5. 求导法则
- (u + v)' = u' + v'
- (u · v)' = u'v + uv'
- (u / v)' = (u'v - uv') / v²
- 链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)

### 6. 物理意义（与运动学的联系）
- 位移函数 s(t) → 速度 v(t) = s'(t)
- 速度函数 v(t) → 加速度 a(t) = v'(t)

**瞬时速度 = 位移对时间的导数**。

## 教学路径

### 1. 导入（10 分钟）
"汽车 10 秒内行驶 200 米，平均速度 20 m/s。但**第 5 秒那一瞬间**的速度是多少？"
- 引出"平均 → 瞬时"，"时间间隔 → 0"

### 2. 探究（20 分钟）— 用 demo
- 显示函数 y = x²（或可换）
- 标出 x₀ 点 P，再标出 x₀ + h 点 Q
- 画 PQ 割线 + 显示割线斜率
- 滑块控制 h 从 1 变到 0.001：看 Q 向 P 滑动，**割线无限逼近切线**
- h 接近 0 时显示切线 + 导数值

### 3. 抽象（10 分钟）
- 平均变化率 → 瞬时变化率
- 数值上：割线斜率的极限 = 切线斜率 = 导数值

### 4. 巩固（15 分钟）
- 用极限公式求 f(x) = x² 在 x = 1 处的导数（= 2）
- 用导数公式求 f(x) = x³ - 3x 的导函数（= 3x² - 3）
- 求切线方程（例题）

## 例题

### 基础题
1. 求 f(x) = x² 的导数。（f'(x) = 2x）
2. 求 f(x) = x² 在 x = 3 处的切线斜率。（f'(3) = 6）

### 进阶题
3. **求切线方程**：f(x) = x² + 1 在点 (1, 2) 处的切线方程。
   - f'(x) = 2x → f'(1) = 2
   - 切线：y - 2 = 2(x - 1) → y = 2x
4. **极值判断**：用导数找 f(x) = x³ - 3x 的极值。
   - f'(x) = 3x² - 3 = 0 → x = ±1
   - x = -1 时 f = 2（极大值）；x = 1 时 f = -2（极小值）

### 拓展
5. **物理应用**：物体位移 s(t) = 5t² (m)，求 t = 2 时的瞬时速度。
   - v(t) = s'(t) = 10t → v(2) = 20 m/s
6. **优化问题**：用一块边长 12cm 的方铁皮做无盖盒子（四角剪去等大正方形再折起），剪去边长多少时盒子容积最大？
   - V(x) = x(12-2x)² → V'(x) = ... = 0 → x = 2cm

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 把割线斜率当成切线斜率 | 必须**取极限** h→0 |
| 求切线方程忘了 f(x₀) | 切线过点 (x₀, f(x₀))，不是 (x₀, 0) |
| 导数 = 函数值 | 不！f'(x₀) 是斜率，不是 y 坐标 |
| 把 f'(x) 当成 f(x) | f'(x) 是导函数（关于 x 的函数），f'(x₀) 是数 |

## 配套 demo 用法
- 选择函数：x²、x³、sin x、eˣ 等
- 选择点 x₀，看切线（红色实线）
- 拖动 h 滑块：看割线（虚线）逐渐变成切线
- 实时显示割线斜率和导数值