# 讲义 13：三角函数与单位圆

> 配套 demo：[`viz/math/13-unit-circle.html`](../../viz/math/13-unit-circle.html)

## 适用学段
**高中（必修第一册第 5 章）**。后续解三角形、三角恒等变换、傅里叶分析的基础。

## 教学目标
- 知道：单位圆上动点 P 的横纵坐标定义了 cos 和 sin
- 会：根据角 θ 在单位圆上找对应点；读出 sin、cos 的值
- 理解：sin 和 cos 的**正负、周期、对称**都来自单位圆几何

## 核心概念

### 1. 弧度制 vs 角度制
- **角度制**：周角 = 360°
- **弧度制**：周角 = 2π
- 换算：180° = π；1 弧度 ≈ 57.3°

**为什么用弧度制？** 让正弦余弦的导数公式简洁（(sin x)' = cos x，不带换算因子）。

### 2. 单位圆定义
单位圆：以原点 O 为圆心、**半径为 1** 的圆。

设角 α 的终边与单位圆交于点 P(x, y)，规定：
- **cos α = x**（横坐标）
- **sin α = y**（纵坐标）
- **tan α = y / x = sin α / cos α**（α ≠ π/2 + kπ）

### 3. 常用角的三角函数值

| α | 0 | π/6 (30°) | π/4 (45°) | π/3 (60°) | π/2 (90°) | π (180°) | 3π/2 (270°) |
|---|---|----|----|----|----|----|----|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 | -1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1 | 0 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | 不存在 | 0 | 不存在 |

**记忆口诀**："一三五七二四六" → sin 取 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1（按 0、30°、45°、60°、90°顺序）

### 4. 符号规律（"一全二正三切四余"）
| 象限 | sin | cos | tan |
|------|-----|-----|-----|
| I (0~π/2) | + | + | + |
| II (π/2~π) | + | − | − |
| III (π~3π/2) | − | − | + |
| IV (3π/2~2π) | − | + | − |

口诀：**第一象限**全正、**第二**只有 sin 正、**第三**只有 tan 正、**第四**只有 cos 正。

### 5. 由单位圆看正弦曲线的形成
让单位圆上的动点 P 绕原点匀速旋转，把每个时刻的纵坐标 y = sin θ 画到右边的图上，连起来就是**正弦曲线**。
- 旋转一周 = 一个周期（2π）
- 最高点 y = 1（θ = π/2），最低点 y = -1（θ = 3π/2）
- y = 0 的时刻：θ = 0, π, 2π, ...

### 6. 周期性
- sin(θ + 2π) = sin θ（周期 2π）
- cos(θ + 2π) = cos θ
- tan(θ + π) = tan θ（周期 π）

### 7. 诱导公式（"奇变偶不变，符号看象限"）
- sin(π - α) = sin α（补角）
- sin(π + α) = -sin α
- cos(-α) = cos α（偶函数）
- sin(-α) = -sin α（奇函数）

## 教学路径

### 1. 导入（5 分钟）
旋转的车轮上一个亮点：它的高度随时间怎么变化？引出"投影 → 三角函数"。

### 2. 探究（20 分钟）— 用 demo
- demo 左边：单位圆，可拖动 P 改变角度 θ
- demo 右边：实时画出对应的正弦/余弦曲线
- 标注 P 的坐标 (cos θ, sin θ)
- 显示 sin θ 在右边曲线的位置

### 3. 抽象（10 分钟）
- "圆周运动 → 振动"（投影）
- 三角函数本质上**就是圆上的几何投影**

### 4. 巩固（15 分钟）
- 求 sin(5π/6)、cos(2π/3) 等的值（用单位圆）
- 看图判断 sin 在哪些区间增、哪些区间减

## 例题

### 基础题
1. 把 240° 化成弧度。（4π/3）
2. 求 sin(π/3) 的值。（√3/2）

### 进阶题
3. **求值**：sin(2π/3) - cos(5π/4) = ?
   - sin(2π/3) = sin(π - π/3) = sin(π/3) = √3/2
   - cos(5π/4) = -cos(π/4) = -√2/2
   - 结果：√3/2 - (-√2/2) = √3/2 + √2/2

4. **判断符号**：sin(7π/6) · cos(7π/6) 的符号？
   - 7π/6 在第三象限。sin 负，cos 负 → 乘积为正。

### 拓展
5. **角的等价**：求所有满足 sin θ = 1/2 的 θ ∈ [0, 2π)。
   - π/6 和 π - π/6 = 5π/6
6. **三角恒等式应用**：sin² 30° + cos² 30° = 1（验证基本恒等式）

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 角度和弧度混用 | 统一一种制度。带 π 一定是弧度 |
| 把 sin 和 cos 颠倒 | sin = 纵坐标（y），cos = 横坐标（x） |
| 忘了象限的符号 | 用单位圆**看一眼**就知道正负 |
| tan(π/2) = 0 | 错，tan(π/2) 不存在（cos = 0，做了分母） |

## 配套 demo 用法
- 左边：单位圆，鼠标拖动 P 或滑动 θ 滑块
- 右边：sin 曲线和 cos 曲线同步绘制
- 高亮显示 P 的横纵坐标（即 cos θ 和 sin θ 的值）
- 可切换"只看 sin"、"只看 cos"、"同时看"