# 讲义 12：勾股定理 a² + b² = c²

> 配套 demo：[`viz/math/12-pythagorean.html`](../../viz/math/12-pythagorean.html)

## 适用学段
**初中（八年级下，人教版）**；几何核心定理之一。

## 教学目标
- 知道：直角三角形两直角边 a、b 与斜边 c 满足 a² + b² = c²
- 会：已知两边求第三边；判断三角形是否为直角三角形（勾股逆定理）
- 理解：定理的几何意义——**两个小正方形的面积之和 = 大正方形的面积**

## 核心概念

### 1. 勾股定理
> 直角三角形中，**两直角边的平方和 = 斜边的平方**
> a² + b² = c²

**只对直角三角形成立。**

### 2. 几何意义（图象证明）
以三角形三边为边长各作正方形：
- 边 a 上的正方形 + 边 b 上的正方形 = 边 c 上的正方形（面积关系）

### 3. 经典证明 — 赵爽弦图（中国古代）
用 4 个全等直角三角形拼出一个大正方形（边长 c），中间留出一个小正方形（边长 b - a）：
- 大正方形面积 = c²
- 4 个三角形面积 + 小正方形面积 = 4 · (ab/2) + (b - a)² = 2ab + a² - 2ab + b² = a² + b²
- 所以 c² = a² + b²

### 4. 勾股逆定理
> 如果三角形三边满足 a² + b² = c²，那么这是一个**直角三角形**（c 所对的角是直角）。

用于"判断三角形是否为直角三角形"。

### 5. 勾股数（毕达哥拉斯三元组）
三个正整数 (a, b, c) 满足 a² + b² = c²。常见的：
- (3, 4, 5)、(5, 12, 13)、(8, 15, 17)、(7, 24, 25)、(20, 21, 29)
- 任意倍数也是：(6, 8, 10)、(9, 12, 15) 等

**生成公式**：对于互质的 m > n > 0：
- a = m² - n², b = 2mn, c = m² + n²
- 例：m=2, n=1 → (3, 4, 5)；m=3, n=2 → (5, 12, 13)

### 6. 历史
- 古巴比伦泥板（公元前 1800 年）已有勾股数列表
- 古中国《周髀算经》（公元前 1100 年）："勾三股四弦五"
- 古希腊毕达哥拉斯（约公元前 530 年）给出证明（西方称"毕达哥拉斯定理"）

## 教学路径

### 1. 导入（5 分钟）
- 木匠用直角尺：3、4、5 的三角形必为直角三角形（实用法判直角）
- 自古以来人类用勾股定理建房、测距、航海

### 2. 探究（20 分钟）— 用 demo
- demo 显示一个直角三角形 + 三边正方形
- 拖动直角顶点：两直角边长改变，正方形面积自动更新
- 始终成立：a² + b² = c²
- 演示赵爽弦图：4 个三角形 + 中间正方形 = c²

### 3. 抽象（10 分钟）
- 强调"**直角**三角形"是前提
- 应用：知道两边求第三边

### 4. 巩固（15 分钟）
- 求直角三角形未知边长（用公式）
- 用勾股逆定理判断三角形是否直角
- 实际问题：梯子靠墙、电线对角、对角线长度

## 例题

### 基础题
1. 直角三角形两直角边 6 和 8，求斜边。
   - 答：c = √(6² + 8²) = √100 = 10
2. 直角三角形斜边 13，一直角边 5，求另一直角边。
   - 答：b = √(13² - 5²) = √144 = 12

### 进阶题
3. **勾股逆定理**：三角形三边 5、12、13，判断是否为直角三角形。
   - 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓ 是直角三角形
4. **几何应用**：长方形对角线长 5cm，长 4cm，求宽。
   - 设宽为 b：b² + 4² = 5² → b = 3 cm

### 实际应用
5. **梯子问题**：梯子长 5m，靠在墙上，底部距墙 3m。梯子顶端距地面多高？
   - 答：√(5² - 3²) = 4m
6. **航海问题**：船从 A 港向东行 30km 到 B，再向北行 40km 到 C。求 AC 距离。
   - 答：AC = √(30² + 40²) = 50km

### 拓展（中考）
7. **折叠问题**：长方形纸片 ABCD，AB = 8、AD = 4。沿 EF 折叠使 A 与 C 重合，求 EF 长度。（需要勾股 + 全等综合）

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 不分直角边和斜边 | **斜边 c 永远是最长的**，是直角对面的边 |
| 套公式时把 c 当直角边 | 公式 a² + b² = c² 中 c 是斜边 |
| 求第三边时不开方 | 算出 a² 后必须开方 |
| 用勾股算锐角 / 钝角三角形 | 勾股定理**只对直角三角形成立** |
| 把斜边的平方拆成"两个数的平方相加" | 不一定有整数解（如斜边 5 不一定对应 3, 4） |

## 配套 demo 用法
- 直角三角形 + 三边正方形（可拖直角顶点改两边长度）
- 实时显示 a²、b²、c² 的数值和正方形面积
- 切换"赵爽弦图"模式，看 4 个三角形 + 中央小正方形拼出大正方形