# 讲义 11：二次函数 y = a(x-h)² + k

> 配套 demo：[`viz/math/11-quadratic-function.html`](../../viz/math/11-quadratic-function.html)

## 适用学段
**初中（九年级上，人教版）**；高中函数性质深化的基础。

## 教学目标
- 知道：二次函数三种表达式（一般式 / 顶点式 / 交点式）
- 会：根据顶点式 y = a(x-h)² + k 快速画图象、求顶点坐标
- 理解：a 控制开口和宽度，h 和 k 控制顶点位置（平移）

## 核心概念

### 1. 三种表达式
| 形式 | 公式 | 适用 |
|------|------|------|
| **一般式** | y = ax² + bx + c (a≠0) | 已知三点求解析式 |
| **顶点式** | y = a(x-h)² + k | 已知顶点（h, k）|
| **交点式** | y = a(x-x₁)(x-x₂) | 已知与 x 轴交点 x₁, x₂ |

三种形式可互相转化。**顶点式最直观**，掌握它是关键。

### 2. 各字母的几何意义（顶点式）

#### a：开口与宽度
| a 的值 | 图象变化 |
|--------|----------|
| a > 0 | 开口**向上**（凹），有最低点 |
| a < 0 | 开口**向下**（凸），有最高点 |
| \|a\| 大 | 开口**窄**（陡）|
| \|a\| 小 | 开口**宽**（缓）|

#### (h, k)：顶点坐标
- 顶点 = (h, k)
- 对称轴 = 直线 x = h
- 改变 h → 图象**左右平移**
- 改变 k → 图象**上下平移**

记忆口诀：**"左加右减"**（顶点式中 (x - h)）
- y = a(x - 3)² + 1 → 顶点 (3, 1)
- y = a(x + 2)² - 5 → 顶点 (-2, -5)

### 3. 一般式 → 顶点式（配方法）
对于 y = ax² + bx + c：
$$y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$$

所以：
- 顶点横坐标 **h = -b / (2a)**
- 顶点纵坐标 **k = (4ac - b²) / (4a)**

### 4. 与 x 轴的交点（求根）
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

**判别式 Δ = b² - 4ac**：
- Δ > 0：两个交点
- Δ = 0：一个交点（顶点在 x 轴上）
- Δ < 0：无交点

### 5. 最值
- a > 0：函数最小值 = k（在 x = h 处取到）
- a < 0：函数最大值 = k

## 教学路径

### 1. 导入（5 分钟）
- 篮球的抛物线轨迹：y = -0.05x² + 0.5x + 2
- 喷泉的水柱、桥的拱形

### 2. 探究（20 分钟）— 用 demo
- 默认显示 y = x²（a=1, h=0, k=0）
- 拖动 a：看开口方向 / 宽度
- 拖动 h：看左右平移
- 拖动 k：看上下平移
- 同步显示顶点坐标、对称轴

### 3. 抽象（10 分钟）
- a 控制"形状"，(h,k) 控制"位置"
- 顶点式直接读顶点；一般式要先用 -b/(2a)

### 4. 巩固（15 分钟）
- 把 y = 2x² - 4x + 1 转成顶点式
  - = 2(x² - 2x) + 1 = 2(x - 1)² - 2 + 1 = 2(x - 1)² - 1
  - 顶点 (1, -1)
- 求 y = -x² + 2x 的最大值
  - = -(x - 1)² + 1，最大值 1

## 例题

### 基础题
1. y = (x - 2)² + 3 的顶点是？对称轴是？
   - 顶点 (2, 3)，对称轴 x = 2
2. y = -2(x + 1)² + 5 开口方向？最值多少？
   - 开口向下；最大值 5（在 x = -1 处）

### 进阶题
3. **求顶点（一般式）**：y = x² - 6x + 8 的顶点？
   - h = -(-6)/(2·1) = 3
   - k = 3² - 6·3 + 8 = -1
   - 顶点 (3, -1)
4. **二次函数综合**：y = -x² + 4x + 5，求：开口方向、顶点、与 x 轴交点、最大值。
   - 开口向下；顶点 (2, 9)
   - 求根：-x² + 4x + 5 = 0 → x² - 4x - 5 = 0 → (x-5)(x+1) = 0 → x = 5 或 -1
   - 最大值 9

### 拓展（实际应用）
5. **篮球抛物线**：从距地面 2m 的位置出手，水平 5m 后达到最高点 3.5m，落地点距出手位置多远？
   - 设抛物线顶点 (5, 3.5)：y = a(x - 5)² + 3.5
   - 出手点 (0, 2)：2 = 25a + 3.5 → a = -0.06
   - 落地（y=0）：0 = -0.06(x - 5)² + 3.5 → (x - 5)² = 58.3 → x ≈ 12.6（取正根）
   - 答：距出手 12.6m

### 中考压轴（拓展）
6. **动点问题**：抛物线 y = x² - 2x - 3 上有一点 P，使得三角形 PBC 的面积最大（B 是右交点）。求 P 坐标。
   - 这是经典动点题，结合几何 + 函数 + 不等式综合考查。

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 顶点式"左加右减"搞反 | 看 (x - h) 整体，h 是顶点横坐标 |
| 把 a 和 k 都当成"位置参数" | a 是"形状"，k 是"位置（上下）" |
| 配方时丢掉 a | 一般式配方要先提 a，再补 b²/4a |
| 求根公式记错 Δ | 判别式 Δ = b² - 4ac（一定要减 4ac） |

## 配套 demo 用法
- 三滑块：a、h、k 分别控制开口、左右平移、上下平移
- 实时显示顶点坐标、对称轴、与 x 轴交点
- 切换"一般式 / 顶点式"显示