# 讲义 10：一次函数 y = kx + b

> 配套 demo：[`viz/math/10-linear-function.html`](../../viz/math/10-linear-function.html)

## 适用学段
**初中（八年级下，人教版）**。是后续二次函数、反比例函数、解析几何的基础。

## 教学目标
- 知道：一次函数解析式 y = kx + b 各字母的几何意义
- 会：根据 k、b 画图象；根据图象读出 k 和 b
- 理解：k 控制**斜率**（陡缓 / 升降），b 控制**截距**（图象上下平移）

## 核心概念

### 1. 定义
若 y = kx + b（k ≠ 0，k、b 为常数），则称 y 是 x 的**一次函数**。
- k = 0 时退化为常数函数 y = b
- b = 0 时 y = kx 称为**正比例函数**（图象过原点）

### 2. k 的几何意义：斜率
| k 的值 | 图象变化 |
|--------|----------|
| k > 0 | 图象**上升**（x 增大 y 也增大），单调递增 |
| k < 0 | 图象**下降**（x 增大 y 减小），单调递减 |
| \|k\| 大 | 图象**陡**（斜得厉害）|
| \|k\| 小 | 图象**缓**（接近水平）|

> 直观理解：从图象上任意找两点 (x₁, y₁)、(x₂, y₂)，k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = "竖差 / 横差"。

### 3. b 的几何意义：y 轴截距
- b = 图象与 y 轴交点的 y 坐标
- 改变 b → 图象**上下平移**（k 不变所以斜率不变）

### 4. 图象与坐标轴的交点
| 与谁的交点 | 坐标 |
|------------|------|
| y 轴 | (0, b) |
| x 轴 | (-b/k, 0) |

### 5. 两条一次函数的关系
- **平行**：k 相同、b 不同
- **重合**：k 和 b 都相同
- **相交**：k 不同（一定相交于一点）
- **垂直（拓展）**：k₁ × k₂ = -1

## 教学路径

### 1. 导入（5 分钟）
- "出租车收费"：起步价 10 元（b），每公里加 2.5 元（k）。乘车里程 x 公里时费用 y = 2.5x + 10。
- 引出"线性关系"概念。

### 2. 探究（15 分钟）— 用 demo
- 默认显示 y = x（k=1，b=0）的图象
- 拖动 k 滑块（-3~3）：看图象的**陡缓 / 升降**变化
- 拖动 b 滑块（-5~5）：看图象的**上下平移**
- 同时显示当前解析式 y = ___x + ___

### 3. 抽象（10 分钟）
- k > 0 直线"右上挑起来"
- k < 0 直线"右下掉下去"
- |k| 越大越陡
- b 改变 = 整条线上下平移

### 4. 巩固（15 分钟）
- 给图象读 k 和 b
- 给两点求一次函数解析式（待定系数法）
- 实际应用：手机话费、出租车计费、弹簧伸长

## 例题

### 基础题
1. 已知 y = 2x - 3，求 x = 5 时 y 的值。（答：7）
2. y = -x + 4 图象与 x 轴、y 轴交点坐标？（与 y 轴交于 (0, 4)，与 x 轴交于 (4, 0)）

### 进阶题
3. **待定系数法**：直线过点 (1, 5) 和 (3, 11)，求解析式。
   - 设 y = kx + b
   - 代入：5 = k + b，11 = 3k + b
   - 解得：k = 3, b = 2 → y = 3x + 2
4. **平行 / 相交判断**：判断 y = 2x + 1 与 y = 2x - 3 的位置关系。
   - 答：k 相同、b 不同 → 平行

### 拓展（实际应用）
5. **出租车计费**：起步价 13 元含 3 km，超出每公里 2.3 元。写出费用 y 与里程 x（x > 3）的函数关系。
   - y = 2.3(x - 3) + 13 = 2.3x + 6.1
6. **温度换算**：摄氏度 C 与华氏度 F 关系为 F = 1.8C + 32。
   - 这是一个 k=1.8、b=32 的一次函数。

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 把 k 和 b 写反 | y = kx + b 中 **kx 在前**，b 是单独的常数 |
| 正比例函数误以为 k 必须 > 0 | k 可正可负，关键是过原点（即 b = 0）|
| k=0 也叫一次函数 | 错。k≠0 才是一次函数；k=0 退化成常数函数 |
| 上升一定是 k > 0 | 是的，但要确认方向是"x 向右增大时 y 也增大" |

## 配套 demo 用法
- 双滑块（k 和 b），实时显示解析式和图象
- 显示与坐标轴的交点坐标
- "对比模式"：同屏画两条直线（不同颜色），方便看平行 / 相交