# 讲义 09：平均数——"匀一匀"的视角

> 配套 demo：[`viz/math/09-average.html`](../../viz/math/09-average.html)

## 适用学段
小学三年级下、四年级下（人教版）"统计与平均数"。

## 教学目标
- 知道：平均数 = 总数 ÷ 个数；表示"平均水平"
- 会：根据一组数据求平均数；根据平均数和已知数据求未知数据
- 理解：平均数是**虚拟的"代表值"**，不一定真的存在于数据中；**易受极端值影响**

## 核心概念

### 1. 定义
> 平均数 = （所有数据之和） ÷ （数据个数）

### 2. 两种直观理解
- **算术理解**：把所有钱凑一起再平分
- **几何理解（"匀一匀"）**：高的削给低的，最后所有柱子一样高
- demo 用第二种——更直观，小学生容易理解

### 3. 平均数的性质
- 介于最大值和最小值之间
- 数据增加一个，可能变大也可能变小（取决于新数据与原平均数的关系）
- **不易受小波动影响**，但**极易受极端值影响**

### 4. 与中位数、众数的关系（拓展）
- 中位数：排序后中间的数
- 众数：出现次数最多的数
- 三者都叫"统计量"，但侧重点不同——小学只学平均数

## 教学路径

### 1. 导入（5 分钟）
情境："小组里 5 个人，比赛跳绳，成绩分别是 80、85、90、95、100 下。我们怎么说这个小组的水平？"
学生：算平均。

### 2. 探究（15 分钟）— 用 demo
- 显示 5 个柱状条（80, 85, 90, 95, 100）
- 点"匀一匀"，看动画：高的削一点给低的，最终所有柱子等高（=90）
- **理解**：90 不是真的有人考 90 分，而是"如果大家都一样高，应该是 90"

### 3. 抽象（10 分钟）
- 平均数 = 总数 ÷ 个数 → 反过来：总数 = 平均数 × 个数
- 重要变型："平均下降 1 分" = "总分下降 个数 分"

### 4. 巩固（15 分钟）
- 反推题：5 个人平均 88 分，已知 4 个人是 85, 90, 92, 80，求第 5 个人
  - 总数 = 88 × 5 = 440，已知 4 人之和 = 347，第 5 人 = 440 − 347 = 93

## 例题（按梯度）

### 基础题
1. 一组数：12, 15, 18, 21, 24。平均数 = ?
   - 解：(12+15+18+21+24)÷5 = 90÷5 = 18
2. 小明 5 次考试平均 90 分，求 5 次总分。
   - 解：90 × 5 = 450

### 进阶题
3. 一队 6 人平均身高 150 cm。来了一个新人（身高 162 cm），新平均身高？
   - 总身高 = 150×6 + 162 = 1062；新平均 = 1062 ÷ 7 ≈ 151.7 cm
4. 小红前 3 次考试平均 85，第 4 次考多少分能让 4 次平均到 88？
   - 4 次总分 = 88 × 4 = 352
   - 前 3 次总分 = 85 × 3 = 255
   - 第 4 次 = 352 − 255 = 97 分

### 拓展（思维题）
5. **极端值的影响**：一群人月收入 5 个 3000、5 个 5000，平均 = 4000。**一个老板加入，月入 100000**，新平均：(3000×5 + 5000×5 + 100000) ÷ 11 ≈ 10454。
   - 思考：这个 "10454" 能说明大家收入水平吗？引出"统计陷阱"。
6. **巧解**：一组数 47, 48, 50, 52, 53 的平均数？
   - 观察都接近 50，可以用偏差法：(-3-2+0+2+3)÷5 = 0 → 平均 = 50

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| 求平均数时忘了除以个数 | 强调"两步走"：先加和，再均分 |
| 数据中包含 0 时漏算 | 0 也是数据，要算在个数里 |
| 把平均数当成"中间的那个数" | 那是中位数；平均数和中位数不一定相等 |
| 加入新数据后认为平均数也加 | 平均数 = 加权重新计算，不能简单累加 |

## 配套 demo 用法
- 5 个数据点（柱状图），点击柱子可输入新值
- 点"匀一匀"按钮，看动画把高柱子削给低柱子，最终所有柱子等高
- 实时显示当前平均数（红色虚线横穿所有柱子）
- 可加减数据条数（3~10 个）