# 讲义 07：可能性与频率收敛

> 配套 demo：[`viz/math/07-coin-flip.html`](../../viz/math/07-coin-flip.html)

## 适用学段
小学五年级上"可能性"，作为初中、高中概率的认知基础。

## 教学目标
- 知道：可能性（概率）是一个**0 到 1 之间**的数，表示某事件发生的可能性大小
- 会：用"做大量实验、统计频率"的方法**估计**可能性
- 理解：**频率会收敛到概率**——做的次数越多，统计结果越接近真实概率

## 核心概念

### 1. 三种确定性
- **一定发生**：可能性 = 1（如太阳从东边升起）
- **不可能**：可能性 = 0（如人变成鱼）
- **可能发生**：可能性介于 0 和 1 之间

### 2. 公平的抛硬币
理想硬币：正面 / 反面各占一半，可能性都是 **0.5（即 50%）**。

### 3. 频率 vs 概率（核心区别）
- **概率**：理论上的"应当发生"比例（先验、不变）
- **频率**：实际做实验时统计出来的比例（后验、随机波动）

> 抛 10 次硬币，可能 7 次正面 3 次反面（频率 70%），但这不代表硬币有问题。**做得多了**，频率才会接近 50%。

### 4. 大数定律（小学只要直觉，不必证明）
做的实验次数越多，**频率与概率的偏差越小**。这是一个客观规律。

## 教学路径

### 1. 导入（5 分钟）
"我们抛一次硬币，是正面的可能性多大？"——50%。
"如果我抛 10 次，是不是一定有 5 次正面？"——不一定。
让学生**先猜**：抛 100 次，正面会是 50 次吗？抛 1000 次呢？

### 2. 探究（20 分钟）— 用 demo
- 开 demo，设置一次抛 10 次。看正面频率，可能是 40% 或 60%
- 设置一次抛 100 次。看频率，可能是 47% 或 53%
- 设置一次抛 10000 次。频率应该在 49.5%~50.5% 之间
- 实时显示频率曲线，学生能看到曲线**逐渐变平、靠近 50%**

### 3. 抽象（10 分钟）
- 频率曲线"收敛"到概率（用直观语言）
- 这就是为什么保险公司能用统计数据计算保费——只要客户够多，规律就显现

### 4. 巩固（10 分钟）
- 掷骰子：每个点数概率 1/6
- 摸球：5 红 3 白，摸出红球的可能性 = 5/8

## 例题（按梯度）

### 基础题
1. 抛 1 枚硬币，正面朝上的可能性是几分之几？
2. 一袋里有 4 个红球、6 个白球，摸出红球的可能性是几分之几？

### 进阶题
3. 抛 2 枚硬币（看作 A、B），求两枚都是正面的可能性。
   - 列举：A正B正 / A正B反 / A反B正 / A反B反，共 4 种，"都正"只有 1 种 → 1/4
4. 掷一颗骰子，朝上点数大于 4（即 5 或 6）的可能性 = 2/6 = 1/3。

### 拓展（思维题）
5. **赌徒谬误**：抛了 5 次都是正面，第 6 次是反面的可能性更大吗？
   - 答：**不！** 仍是 50%。硬币没有"记忆"。这是人最容易犯的统计直觉错误。

## 易错点

| 错误 | 矫正 |
|------|------|
| "抛 10 次必有 5 次正面" | 频率有随机波动，10 次太少 |
| "上次已经正面，这次该反面了" | 硬币没有记忆。前后独立 |
| 把频率和概率混为一谈 | 概率是"应该多少"，频率是"实际测到多少" |
| 不会用分数表示可能性 | 强化 m/n 格式：有利结果数 / 总结果数 |

## 配套 demo 用法
- 拖动滑块设定单次实验抛多少次（1 ~ 10000）
- 点"抛一次"或"连抛"
- 看正面频率（百分比）和频率曲线
- 看到次数变多时，曲线越来越平直、靠近 50% 红线