# 讲义 06：圆周率 π —— 用多边形逼近圆

> 配套 demo：[`viz/math/06-pi-approximation.html`](../../viz/math/06-pi-approximation.html)

## 适用学段
小学六年级上册（圆的认识与周长）。

## 教学目标
- 知道：圆周率 π ≈ 3.14159...，是**周长与直径的比值**，是一个**常数**（不管圆多大）
- 理解：π 是怎么"算"出来的——用越来越多边的正多边形逼近圆
- 体会：**数学上的"无限逼近"**思想

## 核心概念

### 1. 圆周率的定义
对于**任何**圆，**周长 ÷ 直径** 的结果是同一个数，记作 π。

> π = C / d ≈ 3.14159265...

### 2. 为什么不直接量？
绕圆一圈量周长很难量准（绳子会松会紧）。所以历史上人们用**正多边形逼近**圆：
- 圆**内接**正多边形：边数越多，周长越接近圆周
- 圆**外切**正多边形：边数越多，周长也越接近圆周
- 真实的圆周长**夹在两者之间**

### 3. 历史脉络（讲故事用）
- 古巴比伦：π ≈ 3
- 古中国《周髀算经》："周三径一"，即 π ≈ 3
- 公元前 250 年，**阿基米德**：用 96 边形求得 3.1408 < π < 3.1429
- 公元 480 年左右，**祖冲之**：得 3.1415926 < π < 3.1415927（领先世界 1000 年）
- 现代计算机：已算到几十万亿位

## 教学路径

### 1. 导入（5 分钟）
- 准备一根绳子和几个不同大小的圆形物体（碗、盘、硬币）
- 让学生量周长和直径，算 C/d
- 神奇发现：**比值都接近 3.14**！

### 2. 探究（15 分钟）— 用 demo
- 打开 demo，设置 n=3（正三角形内接圆）
- 计算：三角形周长 / 圆直径 = ?（远小于 π）
- 逐步增加 n：4、6、8、12、24、48、96
- 观察比值越来越接近 3.14159...
- 让学生说出"什么时候差不多就够了"

### 3. 抽象（10 分钟）
- π 是一个**无限不循环小数**（无理数）
- 我们永远写不完它，但可以算到任意精度
- 类比：用尺子量长度也会有精度问题，但我们可以无限提高精度

### 4. 巩固（15 分钟）— 算周长
- 直径 10 cm 的圆，周长 ≈ 10 × 3.14 = 31.4 cm
- 半径 5 cm 的圆，周长 ≈ 2 × 5 × 3.14 = 31.4 cm

## 例题（按梯度）

### 基础题
1. 一个圆的直径是 6 m，周长大约是多少？（取 π = 3.14）
2. 一个圆的半径是 4 cm，周长大约是多少？

### 进阶题
3. 一个圆的周长是 18.84 m，半径是多少？（C = 2πr → r = C / 2π = 18.84 / 6.28 = 3 m）
4. 把一根 31.4 cm 长的铁丝围成一个圆，圆的直径是多少？

### 拓展（思维题）
5. **车轮问题**：自行车前后两个轮子，前轮直径 0.5 m，后轮直径 0.6 m。骑了一段路后，前轮转了 100 圈，后轮转了多少圈？
   - 思路：前轮走的距离 = 0.5 × π × 100 = 50π。后轮转的圈数 = 50π / (0.6π) = 50/0.6 ≈ 83.3 圈。
6. **跑道问题**：两个赛跑选手，一个跑直径 50 m 的小圆，一个跑直径 100 m 的大圆。要同时到终点，小圆跑 4 圈，大圆要跑几圈？
   - 思路：路程相同 → 50π × 4 = 100π × x → x = 2 圈。

## 易错点

| 错误 | 原因 | 矫正 |
|------|------|------|
| C = π × r | 公式记错了 | 强调 C = πd = 2πr，**直径**才配 1 个 π |
| 算半圆周长忘加直径 | "半圆 = 半个圆周" | 半圆边界 = 半圆弧 + 直径，即 πr + 2r |
| 把 π 当作 3.14（精确） | 把近似当成精确 | 强调 π 是**无限不循环小数**，3.14 只是近似 |
| 用 π² 算面积 | 公式混淆 | 面积是 πr²，不是 π²r |

## 配套 demo 用法
- 滑块调整 n（3 ~ 96）
- 同时显示**内接**多边形（蓝色，周长偏小）和**外切**多边形（红色，周长偏大）
- 实时显示：内接周长/d、外切周长/d、真实 π 值
- 看到 n=96 时已经精确到小数点后 3 位 — 这就是阿基米德的成果