# 讲义 05：平行四边形面积——剪拼推导

> 配套 demo：[`viz/math/05-parallelogram-area.html`](../../viz/math/05-parallelogram-area.html)

## 适用学段
小学五年级上册（人教版）。

## 教学目标
- 知道：平行四边形面积 = **底 × 高**（注意是高，不是斜边）
- 会：用剪拼法把平行四边形变成等积的长方形
- 理解：长方形是平行四边形的特殊情形，公式本质相同（"底" = 长，"高" = 宽）

## 核心概念

### 1. 平行四边形的"底"和"高"
- **底**：任意一条边都可以作为底
- **高**：从底所在直线上一点向对边引垂线段的长度（**不是斜边**！）
- 一个平行四边形有 **两组** "底-高"，对应两种算法（结果相同）

### 2. 等积变形
"剪一刀、移过去"不改变面积。这是几何中**最朴素的等积变形思想**，也是后续推导三角形、梯形面积的关键工具。

### 3. 公式推导链
```
长方形面积 (S = a × b)
  ↓ 剪拼
平行四边形面积 (S = 底 × 高)
  ↓ 拼接两个
三角形面积 (S = 底 × 高 / 2)
  ↓ 拼接
梯形面积 (S = (上底 + 下底) × 高 / 2)
```

## 教学路径

### 1. 导入（5 分钟）
"花坛是一个平行四边形，底 6 米，斜边 5 米，高 4 米。你知道花坛有多大吗？"
- 故意让学生**先错一次**：很多人会算 6 × 5 = 30 平方米
- 提问："长方形面积怎么算？平行四边形为什么不能直接 底 × 斜边？"

### 2. 探究（15 分钟）— 剪拼活动
**让学生动手做**：
1. 拿一张平行四边形纸片
2. 沿高剪一刀，得到一个三角形和一个梯形
3. 把三角形平移到另一边，拼成长方形
4. 观察：新的长方形 长 = ?（=原平行四边形的底）宽 = ?（=原平行四边形的高）

**配合 demo**：点"剪拼"，看动画一步步演示。

### 3. 抽象（10 分钟）
- 平行四边形面积 = 长方形面积 = 底 × 高
- 强调**高不是斜边**：在 demo 里改变倾斜程度（角度变陡），看到底和高保持不变时面积也不变 → 但斜边在变 → 所以斜边不能用来算面积

### 4. 巩固（15 分钟）
- 计算花坛：6 × 4 = 24 平方米
- 反推："一个平行四边形面积 24 cm²，底是 6 cm，高是几？"

## 例题（按梯度）

### 基础题
1. 平行四边形底 8 cm，高 5 cm，面积 = ?
2. 平行四边形面积 36 m²，底 9 m，高 = ?

### 进阶题
3. 给一个平行四边形：底 10 cm，对应高 6 cm；另一组对应的边是 12 cm，那条边的对应高是多少？
   - 解：面积 = 10 × 6 = 60. 另一组：60 = 12 × h → h = 5 cm。
4. 一块平行四边形菜地，底 20 m，高 15 m。每平方米产蔬菜 4 kg，共能产多少？

### 拓展
5. 把一个长方形拉成（同样周长的）平行四边形，面积**变大还是变小**？为什么？
   - 答：变小。底不变，高变小（小于原宽），所以面积变小。这是**等周不等面积**问题。

## 易错点

| 错误 | 原因 | 矫正 |
|------|------|------|
| 用斜边代替高 | 把"高"理解成"两条平行边之间任意斜距离" | 强调"高"必须垂直于底 |
| 把所有平行边都叫"底" | 概念模糊 | 明确"被选定的那条边叫底，对应的垂直距离叫高" |
| 同一图形算两次答案不同 | 一次用 底1×高1，另一次错用 底1×高2 | 强调"底"和"高"必须**配对** |

## 配套 demo 用法
1. 默认状态显示一个平行四边形，底 8、高 5
2. 拖动顶角滑块改变倾斜，看到面积不变（高没变），但斜边在变
3. 点"剪拼"按钮，看动画把它变成等积长方形
4. 改变底或高的滑块，看到新形状